on définit l'espace \(\mathcal L^p(E,\mathcal A,\mu)\) comme : $$\mathcal L^p(E,\mathcal A,\mu):=\left\{ f:E\to\overline{\Bbb R}\text{ mesurable }\middle|\;\int\lvert f\rvert^p\,d\mu\lt +\infty\right\}$$
on a la norme associée : $$\lVert f\rVert_p:=\left(\int\lvert f\rvert^p\,d\mu\right)^{1/p}$$
on définit alors l'espace \(L^p(E,\mathcal A,\mu)\) comme : $$L^p(E,\mathcal A,\mu):=\mathcal L^p(E,\mathcal A,\mu)/\sim\quad\text{ avec }\quad f\sim g\iff f\overset{pp}=g$$
si \(\mu(E)\lt +\infty\), alors \(L^{p'}\subset L^p\) pour \(1\leqslant p\leqslant p'\) (les espaces \(L^p\) sont décroissants) (via l'inégalité de Hölder)
Théorème de Riesz-Fischer : \(L^p(E,\mathcal A,\mu)\) est un espace complet
les fonctions étagées sont denses dans \(L^p\)
si \(\mathcal A\) est générée par une famille dénombrable et si \(\mu\) est \(\sigma\)-finie, alors \(L^p\) est séparable
si \(\mu\) est borélienne finie, alors les fonctions lipschitziennes sont denses dans \(L^p\)
si \(\mu\) est de Radon finie et si \((E,d)\) est compact séparable, alors les fonctions lipschitziennes à support compact sont denses dans \(L^p\)
